K18YG ミラーボール&ペタルチェーン デザインネックレス 60㎝はギャンブルに関する古典的なパラドックスである。 

サンクトペテルブルクのパラドックス

まず、このゲームでもらえる賞金の期待値を計算しよう。このゲームは確率1/2で1円、確率1/4で2円、確率1/8で4円…、というように賞金を得る。よって、期待値は
\begin{equation*} \frac{1}{2}\cdot 1 +\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\cdots = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}+ \cdots = \infty \end{equation*}
前提

大数の法則

直観的な議論

\begin{equation} M \geq 8\cdot0 + 4 \cdot 1 + 2\cdot 2 + 1 \cdot 4+ 1 \cdot 8 = 20 \text{円} \end{equation}
と見積もれる。従って、一回あたりの参加費を$p$とすれば、このゲームによる儲け$E$は$E=M-Np \geq 20-16p$となる。つまり$p \leq 1.25$ならば、$E \geq 0$となり利得が期待できる。



厳密な議論まとめ

参考文献
・Wikipedia：サンクトペテルブルクのパラドックス
・W. Feller, “Note on the Law of Large Numbers and ‘Fair’ Games,” Ann. Math. Statist., 16, 301–304 (1945). ; フリーdownload可能なlink